Хотя Эйнштейну эта схема сначала показалась «слишком надуманной», потом он понял, что идеи Минковского помогут ему создать теорию. Вскоре он считал их очевидными.
«Нематематика охватывает мистический трепет, когда он слышит о четвертом измерении, как будто перед ним явился театральный призрак. И все же нет ничего банальнее, чем утверждение, что наш привычный мир на самом деле четырехмерный континуум пространства-времени».Эту идею Эйнштейн развивал в 1911 году. В то время он уже был профессором физики в Пражском университете[23]. Здесь он написал новаторские статьи о принципе эквивалентности сил гравитации и инерции и о статическом гравитационном поле, которое оказалось очень упрощенным и нереалистичным, но поучительным примером. Он даже рассматривал тогда возможность изменения скорости света.
Многие известные физики заинтересовались статьями Эйнштейна и стали «копать в том же направлении». Например, Макс Абрахам[24], Гуннар Нордстрём[25] и Густав Мне[26]. Это было очень плодотворное сотрудничество (так Эйнштейн усовершенствовал теорию Нордстрёма с помощью Адриана Фоккера[27]), но оно не обошлось без ожесточенных споров в письмах, на конференциях и в специальной литературе. В 1914 году Эйнштейн подытожил:
«Я очень рад, что мои коллеги увлеклись моей теорией, хотя пока они, по большей части, пытаются ее убить».Но все теории-соперницы потерпели неудачу: либо из-за логических противоречий, либо потому, что не подтверждались фактами.
От вращающегося диска к искривленному пространству
Эйнштейн был очень осторожен, он действовал продуманно и постепенно. «Каждый шаг дается чертовски сложно», – писал он в марте 1912 года своему другу Микеле Бессо[28]. Через несколько месяцев он пришел в своих исследованиях к поворотному моменту. Это был мысленный эксперимент, который придумал в 1909 году Макс Борн[29], а затем Пауль Эренфест[30] увидел в нем парадокс. Представьте себе диск, вращающийся со скоростью, близкой к скорости света. Длина окружности (обода) диска должна укорачиваться, а его радиус – нет. А это нарушает отношение длины окружности к диаметру диска. На плоских поверхностях, где работают законы евклидовой геометрии[31], оно равно числу π (пи).
Значит, диск из эксперимента требует для своего описания неевклидовой геометрии. Ее уже разработали Карл Фридрих Гаусс[32] и его ученик Бернхард Риман[33]. Теодор Калуца[34] еще в 1910 году утверждал, что поверхность такого диска должна обладать отрицательной кривизной. Учитывая, что ускорение и гравитация тесно связаны, Эйнштейн сделал еще один смелый вывод: гравитационное поле нужно описывать с помощью неевклидовой геометрии, и тела, имеющие массу, должны искривлять пространство вокруг себя. Эта мысль в корне поменяла все и стала важным шагом в развитии общей теории относительности.
Мысленный эксперимент Пауля Эренфеста приводит к парадоксу. Он представил себе тонкий диск, который вращается очень быстро, почти со скоростью света (1).
Согласно специальной теории относительности, край диска должен укорачиваться для покоящегося наблюдателя (сокращение длины), а часы, которые стоят на краю, должны идти медленнее («растяжение» времени), чем те, что находятся в центре диска. Поскольку диаметр не меняется, то неожиданно получается, что отношение длины окружности к диаметру больше, чем согласно школьной евклидовой геометрии. Эйнштейн развил представление об искривлении пространства под действием массы, которое нужно описывать в неевклидовой геометрии. Так же как часы в гравитационном поле идут медленнее, чем в невесомости, часы в центре будут идти быстрее, чем те, что находятся на краю диска (2).
Дисков с неевклидовой геометрией на самом деле не существует. Но парадокс, связанный с ними, объясняет общая теория относительности. И ее предсказания оказались верными: рядом с Солнцем (3) время для естественных «атомных часов» – спектральных линий атомов с отлично известными частотами переходов – проходит медленнее, чем вдали, там, где гравитационное поле Солнца слабеет.
Это звучит очень сложно, и так оно и есть. Эйнштейн, вероятно, не смог бы справиться с этим в одиночку. «Гроссман, помоги мне, а не то я сойду с ума», – должно быть, так он сказал своему сокурснику Марселю Гроссману[35]. Гроссман уже помогал Эйнштейну – сначала когда давал свои конспекты лекций перед экзаменами, затем когда Эйнштейн устраивался на работу в патентное бюро. Теперь в августе 1912 года Эйнштейн вернулся в Цюрих. Он жаловался, что Пражский университет завалил его бумажной работой – «бесконечным бумажным дерьмом», – и охотно принял должность профессора в Швейцарской высшей технической школе Цюриха. Что оказалось большой удачей, так как Гроссман преподавал там геометрию с 1907 года.
Гроссман загорелся идеями Эйнштейна и охотно помог ему разобраться с этой трудной, совсем новой математикой. Он принес работы Бернхарда Римана, Элвина Кристоффеля[36], Грегорио Риччи-Курбастро[37] и его ученика Туллио Леви-Чивиты[38]. Они описывали многомерное искривленное пространство с помощью введенных понятий многообразия и метрики, а также специальных математических объектов, называемых тензорами. Это помогло понять неевклидову геометрию гравитационного поля.
На плоской поверхности работает привычная школьная геометрия.
Параллельные прямые никогда не пересекаются, а сумма углов треугольника составляет 180 градусов.
Однако возможны и более сложные случаи – неевклидовы геометрии.
Если поверхность – или пространство с одним дополнительным измерением – имеет сферическую форму, то есть положительную кривизну, то параллели пересекаются, а треугольник имеет сумму углов более 180 градусов.
На вогнутой поверхности – она называется поверхностью с отрицательной кривизной – параллельные прямые расходятся, а сумма углов треугольника меньше 180 градусов. Эти законы работают не только на геометрических чертежах, но и в физическом пространстве.
Для Эйнштейна это было пыткой. Он писал физику Арнольду Зоммерфельду[39], что «в жизни еще так не мучился», но тем не менее «проникся большим уважением к математике, которую до сих пор в ее наиболее тонких областях я считал, по своей наивности, чистой роскошью! Но по сравнению с ней теория относительности – это детская игра!»
Еще в 1913 году Макс Планк[40] предупреждал: «Как старый друг, я должен отговорить вас от этого, потому что вы не справитесь; а если и справитесь, вам никто не поверит».
Ориентиры общей теории относительности